数学归纳法

数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它用来证明一个关于所有自然数的命题。这种方法通常分为两步：

基础步骤（Base Case）：首先需要证明命题对于最小的自然数（通常是1）成立。这是归纳过程的起点。
归纳步骤（Inductive Step）：然后假设命题对某个自然数n成立（称为归纳假设），并证明这个命题也必然对n+1成立。这一步骤表明如果命题对某个数n成立，那么它也对n+1成立。

通过这两个步骤，我们可以推断出命题对所有的自然数都成立，因为：

既然基础步骤证明了命题对1成立，归纳步骤保证了如果它对某个数n成立，就对n+1成立，
那么通过反复应用归纳步骤，命题就可以依次证明对2, 3, 4, …等所有自然数成立。

数学归纳法是数学中非常强大且常用的证明技术，尤其在处理数列、序列、组合数学、图论等领域的问题时。

例题

证明$1+2+3+\cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}$对$\forall n \in N^*$

当$n=1$时：$1=\frac{1(1+1)}{2}$ 成立

当$n=2$时：$1+2=\frac{2(1+2)}{2}$ 成立

假设$1+2+3+\cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}$成立,当$n=n+1$时：

$\begin{array}{ll}
1+2+3+\cdots +n+(n+1) &= \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \
&=\frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n+1)}{2} \
&=\frac{(n+1)(n+2)}{2}
\end{array} $

成立，所以原命题$1+2+3+\cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}$成立。
证明：$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$

当$n=1$时，$1=1^2$

当$n=2$时，$1+3=2^2$

假设$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$成立，当n=n+1时：

$\begin{array}{ll}
1+3+5+\dots+(2n-1)+(2(n+1)-1) &= n^2 +(2(n+1)-1) \
&= n^2 + (2n+1) \
&= (n+1)^2 \
成立
\end{array}$
伯努利不等式：$(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_n) \geq 1+x_1+x_2+\cdots +x_n$，其中$x_1,x_2,\cdots x_n$符号相同且$x_i>-1$

当$n=1$时: $1+x_1 \geq 1+x_1$ 成立

当$n=2$时:

$\begin{array}{ll}
(1+x_1)(1+x_2) &\geq 1+x_1+x_2 \
1+x_2+x_1+x_1x_2 &\geq 1+x_1+x_2 \
x_1x_2 &\geq 0
\end{array}$

成立

假设$(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_n) \geq 1+x_1+x_2+\cdots +x_n$成立，当$n=n+1$时：

$\begin{array}{ll}
(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_n)(1+x_{n+1}) &\geq (1+x_1+x_2+\cdots +x_n)(1+x_{n+1}) \
&\geq 1+x_1+x_2+\cdots +x_n + x_{n+1} + (x_1 + \cdots + x_n)x_{n+1} \
\because x_1,\cdots ,x_n 符号均相同 \
\therefore (x_1 + \cdots + x_n)x_{n+1} > 0 \
\therefore 1+x_1+x_2+\cdots +x_n + x_{n+1}+ (x_1 + \cdots + x_n)x_{n+1} &\geq 1+x_1+x_2+\cdots +x_n + x_{n+1} \
\therefore (1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_n)(1+x_{n+1}) &\geq 1+x_1+x_2+\cdots +x_n + x_{n+1} (加上一堆大于0的东西都比人家小，去掉之后更是要比人家要小)
\end{array}$
证明：$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}(n\geq2)$

当$n=2$时:

$\begin{array}{ll}
1+\frac{1}{\sqrt{2}} &\geq \sqrt{2} \
\sqrt{2}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}) &\geq 2 \
\sqrt{2} + 1 &\geq 2
\end{array}$

成立

假设$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}(n\geq2)$成立，当n=n+1时：

$\begin{array}{ll}
1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} &> \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \
& >\frac{\sqrt{n}\cdot \sqrt{n+1} + 1}{\sqrt{n+1}} \
\end{array}$

$
\because \sqrt{n+1} > \sqrt{n} \
\therefore 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} > \frac{\sqrt{n}\cdot \sqrt{n} + 1}{\sqrt{n+1}} \
\therefore 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1}
$

猜想

数学归纳法推理的时候：

首先找若干个n，看命题是否成立；
若成立，按照命题的形式继续向下多写一个$n+1$项，并保持式子两侧成立，
$1+2+3+\dots+n$时就是多加一个$n+1$，$1+3+5+\dots+(2n-1)$时就是再加一个$2(n+1)-1$，并保持式子仍成立；
预想出式子右侧的最终形式，再用恒等变形或放缩得到结论。